第八号c小调弦乐四重奏导赏
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听完探戈曲《一步之遥》的感想
写在前面： 我好久没认真写过作文了，文笔不好真的请原谅……求各位大人轻喷； 再次强调，这只是一片听后感，曲子已在标题中写明了。不要代入过多现实情节，Anyway，这真的只是小说。 这里放一下我听的版本：【阿根廷探戈·一步之遥·电影《闻香识女人》插曲 & 大提琴 小提琴 钢琴·三重奏｜Por Una Cabeza·Tango｜Violin,Cello&Piano】...
经典数值计算
插值问题 物理问题 →\rightarrow→ 离散化 →\rightarrow→ 计算机处理 离散的物理数据，但不知道实际函数→\rightarrow→ 构造近似函数作为实际函数f(x)f(x)f(x)的逼近 插值问题的数学表述： f(x)f(x)f(x)是定义在区间[a,b][a, b][a,b]的函数，(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)..., (xn,yn)(x_0, y_0),\ (x_1, y_1),\ (x_2, y_2)...,\ (x_n, y_n)(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)..., (xn,yn)是该区间上n+1n+1n+1个不同的点。我们需要构造一个便于计算的函数P(x)P(x)P(x)，s.t. P(xi)=yi(1.1)P(x_i) = y_i \tag{1.1} P(xi)=yi(1.1) 则称P(x)P(x)P(x)是f(x)f(x)f(x)的插值函数，[a,b][a, b][a,b]是插值区间，(xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)是插值节点。同时在其他x≠xix...
复杂系统中的计算方法
前言 “混沌”系统和随机过程的本质区别： 真随机过程完全不可预测，我们可能知道其概率分布，但是对于系统演化中特定时间的单次结果无法进行判断； 混沌系统的本质仍是确定过程，不过由于精确的解析解无法求得，或者计算过程中存在误差，使得结果的误差和计算复杂度急剧上升，导致对未来的状态无法提前预判。 从线性到非线性系统 线性函数（或映射）应该满足叠加性和齐次性，用数学语言表述， f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)f(\alpha x+ \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) 由线性函数决定的系统称为线性系统。 数理方法中接触到的Poisson方程、波动方程、热传导方程均满足上述性质。 但不是所有的方程都满足线性性（废话，这显然）。举一个例子： dudt=u2\frac{du}{dt} =...
误差分析
问题引入 考虑一个多步运算的计算流程： 1Input --> U1 --> U2 --> ... --> Un --> Output 假设每个逻辑步骤 UiU_iUi 相互独立，但每一步出错概率都是ppp，那么系统输出完全正确的联合概率为： Pcorrect=(1−p)nP_{\text{correct}} = (1 - p)^n Pcorrect=(1−p)n 由概率论数列收敛性知识可知，p∈(0,1)p \in (0, 1)p∈(0,1)，(1−p)<1(1 - p)<1(1−p)<1，(1−p)n→0, as n→∞(1 - p)^n \rightarrow 0, \; \text{as} \; n\rightarrow \infty(1−p)n→0,asn→∞。 实际上，n=1000n = 1000n=1000，p=0.0001p = 0.0001p=0.0001，P≈0.9048P≈0.9048P≈0.9048。这已经不是很理想了。 误差的种类和来源 绝对和相对误差 误差的传播和估计 问题举例
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法
简介 蒙特卡罗方法也称统计模拟方法，是指使用随机数（或者更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。它的工作原理就是两件事：不断抽样、逐渐逼近。 相关数学基础 条件概率 P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)：在随机事件BBB发生的条件下，随机事件AAA发生的概率。 全概率公式：P(B)=∑i=1nP(B∣Ai)⋅P(Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \cdot P(A_i)P(B)=∑i=1nP(B∣Ai)⋅P(Ai) 证明思路：P(B∣Ai)⋅P(Ai)P(B|A_i) \cdot P(A_i)P(B∣Ai)⋅P(Ai)等于P(BAi)P(BA_i)P(BAi)，再利用概率的可加性进行加和。 贝叶斯(Bayes)公式：P(Ai∣B)=P(AiB)P(B)=P(Bi∣A)P(A)∑j=1nP(B∣Aj)⋅P(Aj)P(A_i|B) = \frac{P(A_i B)}{P(B)} = \frac{P(B_i|A)P(A)}{\sum^n_{j=1} P(B|A_j) \cdot...
Hello World
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